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曲線のまとめ [見て楽しむ三角関数]

これまでに紹介した曲線を一覧にしました。厳密ではないですが、単純な式から順に並べています。

名称、式、Scratch列のセルはリンクになっています。

ブラウザによっては画像が全部表示されないかもしれません。そのような場合は、その画像だけ再読み込みしてください。

極座標方程式
名称曲線Scratch
アルキメデスのらせん \[ r=a\theta \]
双曲らせん \[ r=\frac{a}{\theta} \]
Neoid \[ r=a\theta+b \]
ガリレオのらせん \[ r=a+b\theta^2 \]
放物らせん \[ r=a\sqrt{\theta} \]
フェルマーのらせん \[ r=\pm a\sqrt{\theta} \]
リチュース \[ r=\frac{a}{\sqrt{\theta}} \]
対数らせん \[ r=ae^{b\theta} \]
カタランの曲線 \[ r=\frac{a}{1-\theta^2}\]
三つ葉 \[ r=a\cos(3\theta) \]
四つ葉 \[ r=a\sin(2\theta) \]
バラ曲線 \[ r=\sin\left(\frac{n}{d}\theta\right) \]
デューラーの葉形曲線 \[ r=a\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
ガーフィールド曲線 \[ r=\theta\cos(\theta) \]
Double Egg \[ r=a\cos^2(\theta) \]
ケプラーの卵 \[ r=a\cos^3(\theta) \]
チェバのサイクロイド \[ r=1+2\cos(2\theta) \]
カージオイド \[ r=a(1+\cos(\theta)) \]
Cyclic-Harmonic Curve \[ r=a\left(1+e\cos(n\theta)\right) \]
パスカルの蝸牛形 \[ r=a(1+2\cos(\theta)) \]
スカラベ曲線 \[ r=a\cos(2\theta)-b\cos(\theta) \]
二つ葉 \[ r=a\left(\sin(\theta)+\sin(3\theta)\right) \]
魚雷曲線 \[ r=a\cos(\theta)\cos(2\theta) \]
コクレオイド \[ r=\frac{a\sin(\theta)}{\theta} \]
Equilateral Trefoil \[ r=\frac{a}{\cos(3\theta)} \]
チェバの五等分曲線 \[ r=a\frac{\sin(5\theta)}{\sin(\theta)} \]
5次曲線 \[ r=\frac{a\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)\cos(2\theta)} \]
四つ葉 (2) \[ r=a\left(\sin^2(2\theta)+\frac{\sin^2(4\theta)}{2}\right) \]
マクローリンの三等分曲線 \[ r=a\left(4\cos(\theta)-\frac{1}{\cos(\theta)}\right) \]
頭蓋曲線 (Cranioid) \[ r=a\sin(\theta)+b\sqrt{1-p\cos^2(\theta)}+c\sqrt{1-q\cos^2(\theta)} \]
カッシーニ曲線 \[ r=a\sqrt{cos(n\theta)\pm\sqrt{e^{2n}-sin^2(n\theta)}} \]
ひげぜんまい曲線 \[ r=\frac{a}{1+ke^{m\theta}} \]
バタフライ曲線 \[ r=e^{sin(\theta)}-2\cos(4\theta)-sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right) \]
ストロフォイド \[ r=-\frac{a\cos(2\theta)}{\cos(\theta)} \]
デカルトの正葉線 \[ r=\frac{3a\sin(\theta)\cos(\theta)}{sin^3(\theta)+cos^3(\theta)} \]
Cayley's Sextic \[ r=4a\cos^3\left(\frac{1}{3}\theta\right) \]
Freeth's Nephroid \[ r=a\left(1+2\sin\left(\frac{1}{2}\theta\right)\right) \]
豆曲線 \[ r=\sin^3(\theta)+\cos^3(\theta) \]
Jerabek Curve \[ r=a\frac{k\cos(\theta)-1}{k-\cos(\theta)} \]
三つ葉(2) (Kiepert Curve) \[ r=a\sqrt[3]{cos(3\theta)} \]
Capricornoid \[ r= a\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)+b} \]
蝶結び曲線 \[ r=\frac{\sin(\theta)\times(1-2sin^2(\theta))}{cos^4(\theta)} \]
双曲正接らせん \[ r=a\tanh(k\theta) \]
ポアンソーのらせん (双曲正割関数) \[ \newcommand{\sech}{\mathop{\rm sech}\nolimits} r=a\sech(n\theta) \]
ポアンソーの螺旋 (双曲余割関数) \[ \newcommand{\csch}{\mathop{\rm csch}\nolimits} r=a\csch(n\theta) \]
歯車 \[ r=a+\frac{1}{b}\tanh(b\sin(n\theta)) \]
Tschirnhausen Cubic \[ r=a \sec^3\left(\frac{1}{3}\theta\right) \]
風車 \[ r=a\tan(2\theta) \]
風車2 \[ r^2=\lvert\cot(2\theta)\rvert \]
左まんじ \[ r^2=\tan(2\theta) \]
Right Serpentine \[ r^2=a^2\cot(\theta) \]
ダイポール曲線 \[ r^2=a^2\cos(\theta) \]
レムニスケート \[ r^2=2a^2\cos(2\theta) \]
Hippopede \[ r^2=4b(a-b\sin^2(\theta)) \]
ブースの楕円 \[ r^2=a^2\cos^2(\theta)+b^2\sin^2(\theta) \]
ブースのレムニスレート \[ r^2=a^2\cos^2(\theta)-b^2\sin^2(\theta) \]
ワットの曲線 \[ r^2=b^2-\left(a\sin(\theta)\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2(\theta)}\right)^2 \]
カッシーニの卵形線 \[ r^2=a^2\left(\cos(2\theta)\pm\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)-sin^2(2\theta)}\right) \]


媒介変数方程式
名称曲線Scratch
サイクロイド \[ x=r\left(\theta-\sin(\theta)\right) \\ y=r\left(1-\cos(\theta)\right)\]
洋梨曲線 \[ x = a\sin(\theta)\\ y=b\cos(\theta)(1+\sin(\theta)) \]
ハート \[ x = 16\sin^3(\theta) \\ y = 13\cos(\theta)-5\cos(2\theta)-2\cos(3\theta)-\cos(4\theta) \]
キス曲線 \[ x = a\cos(\theta) \\ y = a\sin^5(\theta) \]
アステロイド曲線 \[ x=a\cos^b(\theta) \\ y=a\sin^b(\theta) \]
Cross Curve \[ x=\frac{a}{\sin{\theta}} \\ y=\frac{b}{\cos(\theta)}\]
リサージュ \[ x=A\cos(a\theta) \\ y=A\sin(b\theta) \]
インボリュート \[ x=a\left(\cos(\theta)+\theta sin(\theta)\right) \\ y=a\left(\sin(\theta)-\theta cos(\theta)\right) \]
8曲線
Lemniscate of Gerono
\[ x=a\sin(\theta) \\ y=a\sin(\theta)cos(\theta) \]
ダンベル曲線(平方根版) \[ x=a\theta \\ y=a\theta^2\sqrt{1-\theta^2} \]
ダンベル曲線(sin/cos版) \[ x=a\cos(\theta) \\ y=a\cos^2(\theta)\sin(\theta)\]
魚曲線 \[ x=a\cos(\theta) - \frac{a\sin^2(\theta)}{\sqrt2} \\ y=a\cos(\theta)\sin(\theta) \]
Bicorn \[ x= a\sin(\theta) \\ y= \frac{a\cos^2(\theta)(2+\cos(\theta))}{3+\sin^2(\theta)} \]
スピログラフ \[ x=(R-r)\cos(\theta)+p\cos\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \\ y=(R-r)\sin(\theta)-p\sin\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \]
外サイクロイド \[ x=(R+r)\cos(\theta)-r\cos\left(\frac{R+r}{r}\theta\right) \\ y=(R+r)\sin(\theta)-r\sin\left(\frac{R+r}{r}\theta\right) \]
内サイクロイド \[ x=(R-r)\cos(\theta)+r\cos\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \\ y=(R-r)\sin(\theta)-r\sin\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \]
外トロコイド \[ x=(R+r)\cos(\theta)-d\cos\left(\frac{R+r}{r}\theta\right) \\ y=(R+r)\sin(\theta)-d\sin\left(\frac{R+r}{r}\theta\right) \]
内トロコイド \[ x=(R-r)\cos(\theta)+d\cos\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \\ y=(R-r)\sin(\theta)-d\sin\left(\frac{R-r}{r}\theta\right) \]
Squircle \[ \newcommand{\sgn}{\mathop{\rm sgn}\nolimits} x=\sqrt{|\cos(\theta)|} \times r\sgn(\cos(\theta)) \\ y=\sqrt{|\sin(\theta)|} \times r\sgn(\sin(\theta))\] sgnは引数の符号を取り出す関数
ネフロイド Nephroid \[ x= 6a\cos(\theta)-4a\cos^3(\theta) \\ y=4a\sin^3(\theta) \]
プラトーの曲線 \[ x=\frac{a\sin((m+n)\theta)}{\sin((m-n)\theta)} \\ y=\frac{2a\sin(m\theta)sin(n\theta)}{\sin((m-n)\theta)}\]
涙曲線 \[ x= \cos(\theta)\\ y=\sin(\theta)\sin^m\left(\frac{1}{2}\theta\right)\]
Besace \[ x= a\cos(\theta)-b\sin(\theta) \\ y=-(\sin(\theta))x \]
Carlos Sacréの8次曲線 \[ x=\sin(3\theta)\cos(\theta) \\ y=(\sin(3\theta)\sin(\theta))^2 \]
Siamese fishes \[ x=5\cos(\theta)-(\sqrt{2}-1)\cos(5\theta) \\ y=\sin(4\theta)\]
三芒形 \[ x=2a\cos(\theta)+a\cos(2\theta) \\ y=2a\sin(\theta)-a\sin(2\theta) \]
Quadratrix of Abdank-Abakanowicz \[ x=R\sin(\theta) \\ y=\frac{R^2}{2}(\theta+\sin(\theta)\cos(\theta)) \]
Basin \[ x=\sin(\theta)\cos(3\theta) \\ y=\cos^2(3\theta) \]
円と8 \[ x=2\sin(2\theta) \\ y=\cos(\theta)+\cos(3\theta) \]
マルタ十字 \[ x=a\cos(\theta)\left(\cos^2(\theta)-2\right) \\ y=a\sin(\theta)cos^2(\theta) \]
Cornoid \[ x=a\cos(\theta)\left(1-2\sin^2(\theta)\right) \\ y=a\sin(\theta)\left(1+2\cos^2(\theta)\right) \]
Hügelschäffer Egg \[ x= \left(\sqrt{a^2-d^2\sin^2(\theta)}+d\cos(\theta)\right)\cos(\theta) \\ y=b\sin(\theta) \]
円とカージオイド \[ x= \frac{\cos^3(\theta)}{2\cos^3(\theta)-2\cos(\theta)+1} \\ y=\frac{\sin(2\theta)\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^3(\theta)-2\cos(\theta)+1} \]
Talbot Curve \[ x=a\cos(\theta)\left(1+\frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2(\theta)\right) \\ y=b\sin(\theta)\left(1-\frac{a^2-b^2}{b^2}\cos^2(\theta)\right)\]
Septic \[ x=\frac{\cos(\theta)(3\cos^2(\theta)-3\cos(\theta)+1)}{2\cos^3(\theta)-2\cos(\theta)+1} \\ y=\frac{\cos^2(\theta)\sin(\theta)}{2\cos^3(\theta)-2\cos(\theta)+1}\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\]
クロソイド \[ x=\int_0^L \cos\left(t^2\right)dt \\y=\int_0^L \sin\left(t^2\right)dt \]

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ギャラリー2 [見て楽しむ三角関数]

4月以降の曲線をまとめました。前回のギャラリーはこちら

画像をクリックすると各記事に飛びます。


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クロソイド [見て楽しむ三角関数]

Scratchクロソイドを描きます。Wolfram Mathworldmathcurve.comで公開されている式をもとにした曲線はこれで一旦終了です。

[クロソイド]

曲線を描く処理の詳細は初回で説明していますので、そちらを参照してみてください。違う曲線ですが流れは同じです。

今回は、WikipediaにあるJavaScriptのソースコードを参考にプログラムを作りました。積分を使うのでいつもとは少し処理が違います。

最初に本体です。この曲線は右上部分と左下部分に分けて原点(0,0)から二回描画しますので、繰り返しが二回あります。

[本体]

次に変数です。

[変数]

次に準備です。右上の描画前と左下の描画前に一度ずつ呼び出されます。

[準備]

式はこうなっています。tは角度です。
\[ x=\int_0^L \cos\left(t^2\right)dt \\y=\int_0^L \sin\left(t^2\right)dt \] この式をプログラムにすると次のようになります。式のインテグラル(積分)の繰り返し部分は本体に存在します。

[計算]

ラジアンから角度を求めるブロックは次の通りです。

[角度]

移動はいつも通りです。

[移動]

完成版はこちら
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