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四つ葉 Quadrifolium (2) [見て楽しむ三角関数]

Scratch四つ葉を描きます。前回とは違い、曲線も式も複雑です。

四つ葉

まず変数です。少ないですね。

変数

次に本体です。85回繰り返して描画するために二重の繰り返しにしています。内側の繰り返しで四つ葉を一つ描きます。外側の繰り返しでは四つ葉を少しずつ大きくして85回処理しています。色も少しずつ薄くします。

本体

次に準備です。葉っぱですので、始める時の色は濃い緑色に固定しています。

準備

この四つ葉の式はこうなっています。rは半径、aは倍率(大きさ)、θは角度です。
\[ r=a\left(\sin^2(2\theta)+\frac{\sin^2(4\theta)}{2}\right) \]
この式をScratchで一行のプログラムに書くと画面からはみ出してしまうので、スクロールが不要なように半径の計算を3行に分けています。

1. かっこの中の+の左部分を半径に設定
2. かっこの中の+の右部分を半径に追加
3. かっこの外側の掛け算で半径の計算が終了

その後、半径と角度を使ってX座標とY座標を求めます。

計算

移動はいつも同じです。

移動

完成版はこちら

さて、式が複雑だったので、分解するとどういう曲線になるのか試してみたのが以下の表です。
元の式は\[ r=a\left(\sin^2(2\theta)+\frac{\sin^2(4\theta)}{2}\right) \]ですので足し算の左辺と右辺に分けました。式からは倍率aは省いていますが、描画には使っています。

左辺の式右辺の式乗算加算
\[r=\sin(2\theta)\]\[r=\sin(4\theta)\]\[r=\sin(2\theta)\times\sin(4\theta)\]\[r=\sin(2\theta)+\sin(4\theta)\]
sin(2θ)sin(4θ)sin(2θ)*sin(4θ)sin(2θ)+sin(4θ)
\[r=\frac{\sin(4\theta)}{2}\]\[ r=\sin(2\theta)\times\frac{\sin(4\theta)}{2} \]\[ r=\sin(2\theta)+\frac{\sin(4\theta)}{2} \]
sin(4θ)/2sin(2θ)*(sin(4θ)÷2)sin(2θ)+(sin(4θ)÷2)
\[r=\sin^2(2\theta)\]\[r=\sin^2(4\theta)\]\[r=\sin^2(2\theta)\times\sin^2(4\theta)\]\[r=\sin^2(2\theta)+\sin^2(4\theta)\]
sin^2(2θ)sin^2(4θ)sin^2(2θ)*sin^2(4θ)sin^2(2θ)+sin^2(4θ)
\[r=\frac{\sin^2(4\theta)}{2}\]\[ r=\sin^2(2\theta)\times\frac{\sin^2(4\theta)}{2} \]\[ r=\sin^2(2\theta)+\frac{\sin^2(4\theta)}{2} \]
sin^2(4θ)÷2sin^2(2θ)*(sin^2(4θ)÷2)sin^2(2θ)+(sin^2(4θ)/2)

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